A természet számtalan olyan objektummal rendelkezik, amelyek többszöri nagyítás után is részletesen struktúráltak, még egy erős mikroszkóp alatt is "gyűröttek" maradnak. A tudósok csak az utóbbi évtizedekben ismerték föl, hogy ezekkel az alakzatokkal érdemes foglalkozni, s megszületett egy újfajta geometriai objektum, a fraktál (a latin frangere, törni igéből, ld. Stewart 1991). A fraktálgeometria a természet egyesülési, elágazási vagy törési folyamatainak mindegyikében megjelenő minták szimmetriájára mutat rá és rendkívül alkalmas azoknak a természeti jelenségeknek a modellezésére, amelyek több hosszúsági skálán is szabálytalanságot mutatnak.

A fraktálok két csoportra oszthatók: szabályos (9.5-9.6. ábrák, animációk) és véletlen fraktálokra . A természetben előforduló fraktálok a második csoporthoz tartoznak, jellemző tulajdonságuk az önhasonlóság, vagyis az objektum egy része az egész objektumhoz – statisztikai értelemben – hasonló. Bizonyos szempontból a folyamatok és a jelenségek invariánsak a skála-függő transzformációkra, mint például az egyszerű kicsinyítés vagy nagyítás. A statisztikai önhasonlóság, amely esetén az azonosság valószínűségi jelleggel érvényesül, igen sok természeti jelenséggel összefüggésben megjelenik, például tengerek partvonala (9.7.ábra), talajok pH profilja, folyóhálózatok (9.8.ábra) stb.

9.5. ábra - Koch-féle hópehelygörbe előállítása(forrás, animáció)

9.6. ábra - Mandelbrot és julia halmazok(forrás, animáció)

9.7. ábra - Tengerpart: az önhasonlóság legegyszerűbben vizuálisan vizsgálható. Ha valamely jelenség önhasonló, bármely részletét felnagyítjuk, annak megkülönböztethetetlenül hasonlítania kell az egész jelenségre, illetve akármely más részletére; ha egy természeti jelenség önhasonló, akkor annak méretaránya meghatározhatatlan. Az ábrázolt önhasonló alakzatról, tengerpartról készített képen nem tudjuk eldönteni, hogy egy teljes partvonalat, vagy csupán egy öböl részletét látjuk, így nincs vizuális támpontunk a kép méretarányárának becslésére sem (Peitigen, 1986).

9.8. ábra - Folyóhálózat fraktálrajzolata

Fontos megjegyeznünk, hogy a természetben előforduló fraktál nem lesz minden lépték mellett fraktál alakzat, hanem e helyett általában csak a hosszúsági skála 10- vagy 100-szoros nagyításáig. A geomorfológiában fokozottan igaz, hogy a fraktálmodellek csak bizonyos típusú felszínformák, csak bizonyos hosszúsági skálán történő kvantitatív leírására alkalmazhatók. Erősen behatárolja továbbá a fraktálanalízis alkalmazását a folyamat-függő geomorfológiai tanulmányokban az a tény, hogy nem létezik kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a fraktáldimenzió és a felszínformáló folyamatok között.

A mindennapi életben elfogadtuk, hogy olyan háromdimenziós térben élünk, ahol a pont dimenziója nulla, a vonalé egy és a síké kettő. A továbbiakban kiderül, hogy a fraktálalakzatokhoz – így a brit partvonalhoz – hozzárendelt dimenziók törtek lesznek, pl. 1,29-1,31. 1961-ben Richardson, brit fizikus és meteorológus több országra megvizsgálta a partvonalmérési problémát és azt kapta, hogy létezik egy D szám, amely Nagy-Britannia Ny-i partjára 1,25 és Ausztrália partvonalára D = 1,14.

9.3.1. Cellaszámlálási dimenzió

A Mandelbrot-féle fraktál dimenziónak a földtudományokban legelterjedtebb változata a cella-számlálási (box-counting) dimenzió. Előnye, hogy viszonylag egyszerűen és automatikusan számolható, programozható, továbbá magasabb dimenziós terekben is alkalmazható, pl. a klasszikus 3D-ban a cellákat hosszúsággal, szélességgel és magassággal rendelkező kockákkal helyettesítjük. Az eljárás lényege a következő (ld. Szabó 1997): a meghatározandó struktúrát (pl. hópehely, vagy a partvonal rajzolata) egy s oldalnagyságú rácshálóba helyezzük, majd egyszerűen megszámoljuk azokat a cellákat, amelyek tartalmazzák a struktúra bármely részét. Ezzel megadjuk N értéket. Ez a szám természetesen attól függ, hogy mekkorának választottuk s-t, ezért N(s)-t írunk, majd több lépésben csökkentjük s értékét és megadjuk a hozzá tartozó N(s)-t. Ezután ábrázoljuk a kapott számpárokat egy log(N(s))/log(1/s) diagramban, és az ábrázolt ponthalmazra a már megismert módszerrel illesztünk egy egyenest. Ennek az egyenesnek a meredeksége (D) lesz cella-számlálási (box-counting) dimenzió.

Feladat: Határozzuk meg a Brit-szigetek cella-számlálási (box-counting) dimenzióját (D)! Hasonlítsuk össze az előző fejezetben, (1) egyenletben definiált és számítással kapott d együttható és D cella-számlálási dimenzió értékét!

9.9. ábra - Cella-számlálási dimenzió meghatározása egy sziget példáján(animáció)

9.10. ábra - Cellaszámlálás eredménye az Angol-szeigetre

A 9.10. ábra utolsó két oszlopának adatai alapján a regressziószámítás eredménye: D = 1,31 ~ 1+d.

Végezetül néhány partvonal fraktáldimenziója, amelyeket az utóbbi két évtizedben határoztak meg ezzel a módszerrel: Japán ria partjára D = 1,12 – 1,39; Norvégia déli partjára D = 1,52. A legnagyobb fraktál dimenziót Ausztráliában, Queensland parti zátonyain 2 m-es vízmélységben lévő partvonalon mérték: D = 1,9 – 2,0.